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Comment mesurer la régularité d'une trajectoire ?


J'ai deux trajectoires de course d'animaux. Un régulier avec des allers-retours répétés entre les points A et B, comme celui du haut sur la figure. L'autre est très irrégulier, l'animal s'est arrêté et s'est beaucoup retourné au milieu. Existe-t-il un algorithme pour mesurer la régularité d'une trajectoire, comme une activité répétée sur le dessus ? Et comparer l'étendue de la régularité entre les deux trajectoires ? Merci d'avance.


Dans le monde de la physique, vous pouvez distinguer le mouvement aléatoire (par exemple la marche brownienne thermique) et le mouvement dirigé (appelé balistique : pensez à un boulet de canon) en étudiant le déplacement quadratique moyen de l'objet : vous pourrez adapter ce déplacement en fonction du temps par une loi linéaire si elle est aléatoire, et par une loi quadratique si elle est orientée. Les exposants intermédiaires vous donneront une indication du degré d'aléatoire. L'avantage de cela (même s'il n'est pas spécialisé pour votre cas) est qu'il y a un grand nombre de travaux qui l'utilisent, y compris pour les organismes vivants.

Notez également que si votre mouvement est comme dans le premier cas ci-dessus, vous aurez un mouvement balistique pour des temps plus petits que le temps de trajet de gauche à droite, et diffusif (aléatoire) pour des temps plus grands que cela. Cela a été utilisé par ex. pour analyser le mouvement de course et de culbutage des bactéries qui ont un mouvement balistique de courte durée, puis, après un certain temps, culbutent pour explorer une autre direction choisie au hasard.

Exemple de ce type de coexistence de deux régimes :

Dans le domaine de la biophysique, une grande partie de cela a été initiée par Howard Berg et ses collègues

Dans votre premier cas, vous aurez un régime balistique initial puis quelque chose qui plafonne (car vous restez entre A et B). Le délai de transition sera le temps de trajet entre A et B.

Dans votre deuxième cas, vous pourrez caractériser la marche aléatoire : si l'animal vise à aller de A à B mais erre aléatoirement sur de courts temps, vous aurez un comportement diffusif court, et un temps balistique intermédiaire une. (Et puis encore un plateau, comme dans le premier cas et pour les mêmes raisons). Si l'animal atteint B par hasard, au contraire, vous n'aurez un régime diffusif qu'avant ce plateau.


Modèle mathématique

UNE modèle mathématique est une description d'un système utilisant des concepts et un langage mathématiques. Le processus de développement d'un modèle mathématique est appelé modélisation mathématique. Les modèles mathématiques sont utilisés dans les sciences naturelles (telles que la physique, la biologie, les sciences de la terre, la chimie) et les disciplines de l'ingénierie (telles que l'informatique, le génie électrique), ainsi que dans les systèmes non physiques tels que les sciences sociales (telles que l'économie). , psychologie, sociologie, science politique). Les modèles mathématiques sont également utilisés en musique, [1] en linguistique, [2] en philosophie (par exemple, intensivement en philosophie analytique) et en religion (par exemple, les utilisations récurrentes des n° 7, 12 et 40 dans la Bible).

Un modèle peut aider à expliquer un système et à étudier les effets de différents composants, et à faire des prédictions sur le comportement.


3 réponses 3

Je commencerais par la déformation dynamique du temps. Tant que vous avez la distance entre deux points (lat, long), cette approche devrait fonctionner. Il s'adapte à différentes vitesses de mouvement. Par exemple, vous et moi vivons dans le même village et allons travailler dans la même usine, mais je m'arrête dans un café en chemin. Il me faut plus de temps pour arriver mais nous sommes plus ou moins sur le même chemin, donc la mesure de similarité s'ajuste à différentes échelles de temps.

C'est différent de ce que vous avez en tête. Il semble que vous souhaitiez trouver une valeur (vecteur) pour représenter la trajectoire, puis calculer la distance entre les vecteurs. Je vous propose d'utiliser la mesure de distance entre les trajectoires directement, sans étape intermédiaire.

Si vous ne considérez que les virages instantanés, c'est-à-dire les changements de direction, je ne pense pas que cela définira de manière unique la position lors d'une prochaine instance - à moins que chaque utilisateur ne se déplace à une vitesse connue constante (aucune indication à ce sujet dans votre question) . Puisque vous vous déplacez sur une surface (sphérique, je suppose?), vous aurez probablement besoin d'au moins une deuxième coordonnée pour déterminer vos positions de manière unique. Pourquoi ne pas simplement construire le tableau $2 imes N$ $[f(t) f(t)]$ par utilisateur avec l'horodatage comme paramètre, puis concaténez-le en un vecteur $1 imes (2N)$ $[f(t) f(t)]$ vous devez avoir un vecteur (ou $1 imes (2N imes M)$ pour $M$ utilisateurs étiquetés ? Vous pouvez également prendre la longueur d'arc $s(t)$ pour le chemin parcouru comme paramètre à la place. Les horodatages sont-ils à intervalles réguliers, sinon vous aurez besoin d'un vecteur séparé pour eux pour la recherche.PS : Je ne peux pas voir de lien avec les statistiques, est-ce pertinent pour Cross Validated ?

Pour chaque utilisateur, vous disposez de deux séries temporelles, lat(t) et long(t). Je pense que c'est la représentation la plus simple - je n'essaierais pas de compliquer les choses en convertissant en une définition des virages, ce qui serait non seulement plus difficile, mais nécessiterait également de faire très attention au point de départ initial et de le traiter différemment dans n'importe quel une analyse. (C'est probablement plus bruyant aussi.)

Le fait de conserver les données sous forme de séries chronologiques lat et long simplifie également l'utilisation la plus probable - où vous examinerez différentes fenêtres de temps à différents moments - il n'est pas nécessaire de recalculer constamment un point de départ au début d'une nouvelle fenêtre de temps en cours d'analyse.

Si les séries temporelles lat & amp long de chaque utilisateur étaient toutes échantillonnées exactement aux mêmes moments, comme indiqué dans une autre réponse, vous pouvez simplement concaténer les deux vecteurs de séries temporelles en un seul vecteur long. Un exemple similaire qui avait 5 séries temporelles ressemblait à ceci :
. Ensuite, vous avez un long vecteur pour chaque utilisateur que vous pouvez analyser comme n'importe quel autre vecteur pour la reconnaissance de formes, les mesures de distance, le regroupement, etc.

Pour les mesures de distance entre les utilisateurs, vous allez généralement utiliser un formulaire pondéré en fonction de l'application. Par exemple, lorsque vous vous concentrez sur la convergence vers une destination commune, vous augmenteriez le plus les poids vers la fin de la fenêtre temporelle (que ce soit en regardant les calculs euclidiens, la distance maximale, etc.).

Mais, la question initiale semble dire qu'il peut y avoir des nombres différents de points entre A et B pour différents utilisateurs. Et dans tous les cas, même pour le même intervalle d'échantillonnage, il est probable que les temps ne soient pas exactement les mêmes (peut-être différant d'une certaine constante car l'échantillonnage a commencé à des moments différents). De plus, il est fort possible qu'il y ait des données manquantes. Dans tous ces cas, conceptuellement, vous devez penser à chaque série temporelle sous forme continue, peut-être en y ajustant une courbe et en rééchantillonnant chaque utilisateur exactement aux mêmes moments. (C'est analogue au rééchantillonnage qui se produit dans l'analyse photo lorsque vous réduisez une image). Ensuite, vos vecteurs de séries temporelles pour lat & long ont la même longueur et correspondent exactement aux mêmes heures, de sorte que les vecteurs concaténés pour chaque utilisateur sur une certaine période peuvent être comparés correctement les uns aux autres.


Comment calculer les angles

Cet article a été co-écrit par Mario Banuelos, Ph.D. Mario Banuelos est professeur adjoint de mathématiques à la California State University, Fresno. Avec plus de huit ans d'expérience dans l'enseignement, Mario se spécialise dans la biologie mathématique, l'optimisation, les modèles statistiques pour l'évolution du génome et la science des données. Mario est titulaire d'un baccalauréat en mathématiques de la California State University, Fresno, et d'un doctorat. en mathématiques appliquées de l'Université de Californie, Merced. Mario a enseigné aux niveaux secondaire et collégial.

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En géométrie, un angle est l'espace entre 2 rayons (ou segments de ligne) ayant la même extrémité (ou sommet). La façon la plus courante de mesurer les angles est en degrés, avec un cercle complet mesurant 360 degrés. Vous pouvez calculer la mesure d'un angle dans un polygone si vous connaissez la forme du polygone et la mesure de ses autres angles ou, dans le cas d'un triangle rectangle, si vous connaissez les mesures de deux de ses côtés. De plus, vous pouvez mesurer des angles à l'aide d'un rapporteur ou calculer un angle sans rapporteur à l'aide d'une calculatrice graphique.


Vieillir avec vitalité

« J'essaie de faire d'eux des convertis qui diront à leurs amis, parents, tantes, oncles, grands-parents et patients que l'activité physique régulière est comme une fontaine de jouvence », déclare James Hicks à propos des étudiants de son cours Exercise as Medicine, de nombreux dont vont dans les soins de santé. Ici, le professeur d'écologie et de biologie évolutive de l'UC Irvine partage un rire avec la légende des Rams Eric Dickerson lors d'une pratique en équipe sur le campus.

Si être sédentaire est le nouveau tabagisme, alors le cours naissant d'exercice en médecine de l'UC Irvine est l'équivalent moderne de l'avertissement de l'ancien chirurgien général sur les paquets de cigarettes.

Enseigné par James Hicks, professeur d'écologie et de biologie évolutive, le cours examine les dangers de l'inactivité physique et explore comment l'exercice améliore non seulement la santé globale, mais peut même modifier ou inverser la trajectoire du cancer et d'autres maladies.

Hicks dit qu'il a créé la classe - qui a débuté ce printemps avec 85 étudiants en biologie et en a refusé 179 autres - pour répandre l'évangile de la marche, de la course et d'autres formes d'effort.

« Parce que de nombreux diplômés en biologie se dirigent vers la médecine, j'essaie d'en faire des convertis qui diront à leurs amis, parents, tantes, oncles, grands-parents et patients que l'activité physique régulière est comme une fontaine de jouvence », dit-il.

Pendant des décennies, la science a supposé que le déclin progressif des performances physiologiques à mesure que les gens vieillissaient était «une pente fixe, et à 65 ou 75 ans, vous êtes censé être assis dans un fauteuil à bascule», explique Hicks. "Nous mourons tous, mais la pente peut être modifiée."

Il y a environ 20 ans, les chercheurs ont découvert qu'un mouvement intense provoque la libération par les muscles de composés chimiques qui améliorent la santé, l'immunité et la longévité, note-t-il. Ce n'était pas un concept entièrement nouveau. Vers 600 av. J.-C., un médecin indien prescrivait à ses patients des exercices quotidiens. Et Hippocrate a décrit la marche comme "le meilleur remède de l'homme".

Aujourd'hui, il y a des tonnes d'études pour étayer ces anciennes suppositions. "J'ai rassemblé des gigaoctets de littérature sur le lien entre l'activité physique et la santé", explique Hicks, qui dirigeait auparavant le Center for Exercise Medicine & Sport Sciences de l'UC Irvine (maintenant le Center for Integrative Movement Sciences).

L'un des sujets de son programme est le domaine en plein essor de l'oncologie de l'exercice. L'UCLA, l'UC San Francisco, l'Université Harvard et le Memorial Sloan Kettering Cancer Center de New York font partie des institutions médicales qui recommandent l'exercice dans le cadre du traitement du cancer, dit-il, ajoutant que des activités spécifiques peuvent aider avec certaines tumeurs. Par exemple, les patientes atteintes d'un cancer du sein qui marchent d'un bon pas pendant trois heures par semaine après avoir reçu un traitement standard bénéficieraient de résultats 32% meilleurs, un taux de réussite que peu de médicaments peuvent égaler, dit Hicks.

D'autres sujets de conférence comprennent l'exercice et le diabète, les maladies cardiaques et la santé du cerveau. Bien qu'il n'y ait pas de laboratoire dans le cours, les étudiants enregistrent leurs niveaux d'activité et calculent le nombre de calories qu'ils brûlent. Au début du trimestre, Hicks a interrogé la classe sur la façon dont ils passaient leur temps d'arrêt et a créé un nuage de mots pour afficher les résultats. Le loisir n°1 : regarder YouTube.

Hicks espère que les étudiants seront moins sédentaires à la fin du cours. L'une des raisons pour lesquelles les États-Unis ont été si durement touchés par COVID-19, dit-il, est que trop d'Américains sont obèses.

Connu pour ses recherches sur les cœurs de vertébrés, Hicks, 67 ans, pratique ce qu'il enseigne, faisant du vélo de 60 à 120 miles par semaine, se rendant sur le campus à pied tous les jours et prenant des escaliers au lieu d'ascenseurs pour les montées de moins de cinq étages.

À la fin du cours Exercise as Medicine, il prévoit de montrer une vidéo canadienne d'une minute qui demande : « À quoi ressembleront vos 10 dernières années ? » Utilisant un écran partagé, il dépeint le même acteur dans des scènes parallèles envoûtantes, une version saine et l'autre maladive. Une clé pour finir la vie du bon côté, dit Hicks, est de rester en bonne forme physique : « Nous pouvons vieillir avec vitalité. Il n'est jamais trop tard pour commencer.


Résultats

Donnees numeriques

La mesure (5) est invariante sous les translations, les rotations ou les échelles, comme on peut le déduire de (4) et (5) lui-même. Le comportement et la sensibilité de la mesure proposée peuvent être testés en appliquant une expérience numérique proposée dans [8]. Comme point de départ, un réseau hexagonal composé de 661 sommets avec une longueur d'arête égale à 1 est généré. Maintenant, des distorsions contrôlées de cette structure sont appliquées en choisissant au hasard 200 sommets et chacun est traduit par un vecteur de magnitude ?? pointant vers une direction aléatoire. L'ensemble de points résultant a été analysé en appliquant la mesure proposée (5) ainsi que NND (1) et l'indice d'hexagonalité (2). L'amplitude de la perturbation a varié de 0 à 1,2 par pas de ??=0.1.

Sur la figure 1m, le réseau hexagonal d'origine (avec des points) et son pavage de Voronoi sont représentés. Deux exemples de réseaux perturbés, avec ??=0,5 et ??= 1,0, sont illustrés dans les Fig. 1 b et c, respectivement. Le comportement de E, R (NND) et ??(k) (indice d'hexagonalité) versus ?? sont montrées dans la Fig. 2. Toutes les mesures affichent la diminution progressive de régularité attendue avec les perturbations progressives et l'eutaxité et l'indice d'hexagonalité se comportent de manière linéaire avec les perturbations progressives. Les valeurs d'eutaxité vont de E=1 pour les données non perturbées à E=0,7824 pour ??=1.2. De même, l'indice d'hexagonalité est compris entre ??(k)=1, pour aucune perturbation, à △ ??(k)=0,53504 pour la perturbation maximale. L'indice NND se comporte également de manière linéaire et indique un arrangement sur-dispersé ou régulier puisque les valeurs sont supérieures à R=1, avec p<0.05.

Quelques exemples de l'expérience numérique qui consiste à perturber un réseau hexagonal, comme décrit dans le texte, avec des grandeurs de perturbation ??=0.0 (une), ??=0.5 (b), et ??=1.0 (c)

Mesures de régularité en fonction de l'ampleur de la perturbation ??. une Mesure proposée dans ce travail b Indice d'hexagonalité c NND

Notez que le comportement des trois mesures est similaire et quelques commentaires sur cette similitude peuvent être dits ici. Malgré cela, la mesure NDD (R) représenté sur la figure 2c montre une diminution continue, on ne peut pas dire que la régularité du motif diminue en conséquence. Comme il a été mentionné dans la section « Méthodes existantes », la méthode NDD a été conçue pour différencier statistiquement les distributions aléatoires, agrégées et sur-dispersées (régulières) en plus de la p valeur, qui vérifie si l'hypothèse nulle est remplie ou non, l'écart par rapport à la régularité ou à l'aléatoire doit être affirmé à l'aide d'un test de significativité [6]. Concernant l'indice d'hexagonalité, cette diminution continue de la régularité est attendue puisque le test numérique consiste en la distorsion contrôlée d'un réseau hexagonal et même avec le plus grand facteur de distorsion appliqué (??= 1,2), 47,5 % des polygones ont six arêtes, c'est-à-dire des hexagones déformés, contre 21,5 % avec cinq, 16,6 % avec sept, 7,5 % avec quatre, 5 % avec huit, 0,8 % avec trois, 0,6 % avec neuf et 0,5 % avec dix arêtes. Un scénario différent peut survenir si des polygones avec un nombre différent d'arêtes sont distribués plus ou moins également, comme nous le verrons dans ce qui suit.

L'un des carrelages les plus remarquables de l'avion est le carrelage dit de Penrose. Il a une symétrie pentagonale, il est non périodique mais avec un ordre à longue distance et des propriétés géométriques exceptionnelles (pour une référence générale sur les pavages de Penrose voir Réf. [16]). Bien qu'aucun exemple de ce type de schémas apériodiques n'ait été observé dans un système biologique, il est intéressant d'appliquer les mesures à cette structure idéale. Sur la figure 3, un fragment d'un pavage de Penrose obtenu par la double méthode généralisée [17] et son pavage de Voronoi respectif (ressemblant à une structure cellulaire) est montré. La répartition des pentagones, hexagones et heptagones dans ce pavage de Voronoï est respectivement de 31,4 %, 39,2 % et 29,4 %. La mesure basée sur l'eutaxité (5) donne E=0.903, indiquant que le motif est très régulier, alors que l'indice d'hexagonalité (2) donne △ ??(k)=0.443, ce qui est trop faible pour un motif connu pour être régulier. L'indice NND (1) donne R=1,729, indiquant que le motif est régulièrement distribué.

Fragment d'un carrelage Penrose (une) et son pavage de Voronoi (b)

Application aux données réelles

La répartition des chênes

Bien que la mesure (5) proposée puisse être utilisée pour caractériser la mosaïque générale ou les motifs ponctuels dans n'importe quel système biologique, il est illustratif d'étudier la distribution spatiale des plantes, ce qui est important pour comprendre la dynamique de l'écosystème des communautés végétales, ainsi que les facteurs morphologiques et environnementaux qui produisent un modèle spatial particulier [18]. La mesure NND a été appliquée à ce problème mais des mesures plus spécifiques ont été développées pour ce problème particulier en écologie, à savoir, la fonction K de Ripley [19] et l'Analyse Spatiale par Indices de Distance (SADIE) [20]. Dans ces méthodes, la position de la plante définit un point dans le plan, le modèle nul est une distribution de points complètement aléatoire et le départ du modèle nul donne deux alternatives. Dans le premier, il y a une forte probabilité de trouver des points proches les uns des autres et les motifs sont appelés agrégés, agglutinés ou regroupés. Au contraire, dans le second cas, pour un point donné il y a une faible probabilité de trouver des points proches et ce motif est dit sur-dispersé ou régulier.

Nous avons utilisé (5) pour étudier la répartition des arbres dans les localités à influence environnementale. Les données de terrain ont été acquises en échantillonnant trois forêts de chênes dans l'État de Querétaro, au Mexique :

1. Laguna de Servín, Amealco de Bonfil (20° 15 ′ 48 ″ N, 100° 15 ′ 23 ″ W).

2. Escolásticas, Huimilpan (20° 24 ′ 57 ″ N, 100° 15 ′ 49 ″ W).

3. Xajay, Amealco de Bonfil (20° 03 20 ″ N, 99° 58 ′ 02 ″ W).

Forêts avec des individus du genre Quercus sont appelés forêts de chênes. Malgré que dans la même forêt pourraient coexister différentes Quercus espèces, aucune distinction entre les espèces n'a été faite sur les sites échantillonnés de sorte qu'une analyse univariée (une seule espèce) a été effectuée.

Utilisant un Magellan-ProMark 3 GPS avec une résolution millimétrique, la position du tronc de chaque arbre a été enregistrée et cartographiée sur un avion. La circonférence à hauteur de poitrine (CBH) de chaque tronc a été enregistrée ainsi que le nombre d'arbres endommagés ou détruits.

Les trois localités échantillonnées se sont révélées différentes en ce qui concerne son niveau de conservation. A Laguna de Servín, 181 individus ont été cartographiés dans une zone relativement plate de 1576 m 2 . La Laguna de Servín est située derrière une route, montrant une déforestation humaine (27 % des individus échantillonnés ont été endommagés). A Escolásticas, 115 arbres sur une superficie de 11 635 m 2 ont été échantillonnés et bien que cet endroit soit une chênaie à proximité des pâturages et des routes, il a été le moins perturbé puisque seulement 3 % des individus échantillonnés ont été blessés. A Xajay, 195 individus dans une zone de 3 350 m 2 ont été échantillonnés. Même si Xajay est situé au sommet d'une colline (3000 m d'altitude), la déforestation humaine est courante autour de la zone et environ 4 % des arbres ont été abattus. Les valeurs moyennes de CBH mesurées étaient de 75 cm pour Laguna de Servín, 160 cm pour Escolásticas et 90,5 cm pour Xajay.

Les points cartographiés pour chaque emplacement sont illustrés à la figure 4. Les parcelles sont disposées en trois colonnes correspondant à chaque emplacement : (a) Laguna de Servín, (b) Escolásticas et (c) Xajay. Dans chaque colonne, les points cartographiés sont affichés en haut et son diagramme de Voronoï respectif en bas. Chaque ensemble de points a été analysé à l'aide des mesures (5), (2) et (1), et les résultats sont présentés dans le tableau 1. Notez qu'ici aussi les trois mesures donnent des résultats similaires : la valeur la plus élevée de régularité est obtenue dans Escolásticas , suivi de Xajay et Laguna de Servín. A l'exception de Laguna de Servín, où p>0.05, indiquant une distribution aléatoire (malgré que R>1), la mesure NND indique qu'à Xajay et Escolásticas la distribution est régulière mais la significativité de l'écart doit être testée statistiquement. Le critère d'eutaxité et l'indice d'hexagonalité étaient sensibles au degré de perturbation observé. Il faut dire cependant que le pavage de Voronoi de la distribution des arbres dans les Escolásticas, illustré à la Fig. 4, contient 44,6 % de polygones à six côtés, contre 21,6 % à cinq, 19 % à sept, 10,8 % à quatre et 4 % à huit côtés. C'est-à-dire que la plupart des polygones ont six côtés, ce qui favorise l'indice d'hexagonalité.

Forêt de chênes échantillonnés dans trois endroits de l'État de Querétaro, au Mexique. Les informations de chaque forêt sont organisées en colonnes : une Lagune de Servin, b Escolásticas et c Xajay. Leurs pavages Voronoi respectifs sont indiqués en dessous de chacun. Chaque point correspond au tronc d'un arbre cartographié et le (x, y) les valeurs sont données en coordonnées géographiques

La régularité mesurée à Escolásticas peut également être interprétée en tenant compte du fait que cette localité a la plus grande valeur moyenne du CBH. Sur le plan écologique, il indique la présence d'arbres vivaces qui ont atteint une taille considérable pour diviser l'espace entre ses voisins de manière homogène. De plus, Escolásticas est la localité avec le moins de perturbations, ce qui donne une valeur de régularité plus élevée.

Un motif phyllotactique en spirale

La disposition des organes végétaux, également appelée phyllotaxie, fascine les scientifiques et les naturalistes depuis des siècles, principalement parce qu'elle est dominée par des relations mathématiques remarquables. Parmi les nombreux types d'arrangements d'organes végétaux, le plus visible et le plus complexe est peut-être le motif en spirale comme chez les tournesols. Depuis le 19 ème siècle, on connaît la relation entre la suite de Fibonacci et les spirales phyllotactiques (pour une référence générale voir (Réf. [21] Ch.4)) : le nombre de spirales (parastichies) sont généralement des nombres consécutifs du série 1,1,2,3,5,8,13,…, qui est la série de Fibonacci, dont chacun des termes est la somme des deux précédents. La suite de Fibonacci est étroitement liée au nombre d'or ( au = left (1 + sqrt <5> ight) / 2) , puisque si F m est le m-ième terme de la suite de Fibonacci, alors F m+1/F m?? à la limite m. Fait intéressant, le pavage de Penrose, comme le montre la Fig. 3 a, et le nombre d'or sont étroitement liés puisque le rapport entre la diagonale et le côté d'un pentagone est ??. Dans la Fig. 5 a la phyllotaxie en spirale d'une plante à fleurs de l'espèce Leucanthème maximum est montré, où les spirales ont été dessinées comme un guide pour l'œil. Les coordonnées de chaque fleuron ont été trouvées à partir de l'image numérique à l'aide du logiciel morphométrique Image J [22] et de cette manière une distribution de points dans un plan a été obtenue, dont le pavage de Voronoi est montré dans la Fig. 5 b. La régularité de cette tessellation a été quantifiée à l'aide des mesures (5), (2) et (1). La mesure basée sur l'eutaxité donne E=0,9114, comme attendu d'un motif très régulier, alors que l'indice d'hexagonalité (2) donne △ ??(k) = 0,4956, ce qui est encore trop faible pour un modèle régulier. L'indice NND (1) donne R= 1,8693, indiquant que le motif est régulièrement distribué.

une Image numérique d'une plante à fleurs de l'espèce Leucanthème maximum, montrant le motif en spirale des fleurons (les spirales sont dessinées sur le dessus pour guider l'œil). b Tessellation de Voronoï associée à l'ensemble des points définis par les fleurons


Applications de la trigonométrie

Avant d'entrer dans le détail de ses applications, répondons à une question :

Vous êtes-vous déjà demandé quel domaine de la science a utilisé la trigonométrie pour la première fois ?

La réponse immédiate attendue serait les mathématiques mais cela ne s'arrête pas là même la physique utilise beaucoup de concepts de trigonométrie. Une autre réponse Selon Morris Kline, dans son livre intitulé Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, a proclamé que la trigonométrie a d'abord été développée en relation avec l'astronomie, avec des applications à la navigation et à la construction de calendriers. C'était il y a environ 2000 ans. La géométrie est beaucoup plus ancienne et la trigonométrie est construite sur la géométrie’. Cependant, les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations de l'Égypte ancienne, de la Mésopotamie et de l'Inde il y a plus de 4000 ans.

La trigonométrie peut-elle être utilisée dans la vie de tous les jours ?

La trigonométrie n'a peut-être pas ses applications directes dans la résolution de problèmes pratiques, mais elle est utilisée dans diverses choses que nous apprécions tant. Par exemple, la musique. Comme vous le savez, le son voyage par ondes et ce modèle, bien qu'il ne soit pas aussi régulier qu'une fonction sinus ou cosinus, est toujours utile dans le développement de la musique informatique.

Un ordinateur ne peut évidemment pas écouter et comprendre la musique comme nous le faisons, donc les ordinateurs la représentent mathématiquement par ses ondes sonores constitutives. Cela signifie que les ingénieurs du son doivent connaître au moins les bases de la trigonométrie. Et la bonne musique que produisent ces ingénieurs du son est utilisée pour nous calmer de notre vie trépidante et stressante - Tout cela grâce à la trigonométrie.

La trigonométrie peut être utilisée pour mesurer la hauteur d'un bâtiment ou de montagnes

Si vous connaissez la distance d'où vous observez le bâtiment et l'angle d'élévation, vous pouvez facilement trouver la hauteur du bâtiment. De même, si vous avez la valeur d'un côté et l'angle de dépression depuis le haut du bâtiment que vous pouvez trouver et un autre côté dans le triangle, tout ce que vous devez savoir est un côté et un angle du triangle.

La trigonométrie dans les jeux vidéo

As-tu déjà joué au jeu, Mario ? Quand vous le voyez glisser si doucement sur les barrages routiers. Il ne saute pas vraiment tout droit le long de l'axe Y, c'est un chemin légèrement courbe ou un chemin parabolique qu'il emprunte pour affronter les obstacles sur son chemin. La trigonométrie aide Mario à sauter par-dessus ces obstacles. Comme vous le savez, l'industrie du jeu est entièrement axée sur l'informatique et les ordinateurs et la trigonométrie est donc d'une importance égale pour ces ingénieurs.

La trigonométrie en construction

En construction, nous avons besoin de trigonométrie pour calculer les éléments suivants :

  1. Mesurer des champs, des lots et des surfaces
  2. Rendre les murs parallèles et perpendiculaires
  3. Pose de carreaux de céramique
  4. Inclinaison du toit
  5. La hauteur du bâtiment, la largeur, la longueur, etc., et bien d'autres choses où il devient nécessaire d'utiliser la trigonométrie.

Les architectes utilisent la trigonométrie pour calculer la charge structurelle, les pentes du toit, les surfaces au sol et de nombreux autres aspects, notamment la protection solaire et les angles d'éclairage.

La trigonométrie en ingénierie de vol

Les ingénieurs de vol doivent prendre en compte leur vitesse, leur distance et leur direction ainsi que la vitesse et la direction du vent. Le vent joue un rôle important dans la manière et le moment où un avion arrivera là où cela est nécessaire. Ceci est résolu en utilisant des vecteurs pour créer un triangle en utilisant la trigonométrie pour résoudre.

Par exemple, si un avion voyage à 234 mph, à 45 degrés N de E, et qu'il y a un vent plein sud à 20 mph. La trigonométrie aidera à résoudre ce troisième côté de votre triangle qui conduira l'avion dans la bonne direction, l'avion voyagera en fait avec la force du vent ajoutée à sa trajectoire.

La trigonométrie en physique

En physique, la trigonométrie est utilisée pour trouver les composantes des vecteurs, modéliser la mécanique des ondes (à la fois physiques et électromagnétiques) et des oscillations, additionner la force des champs et utiliser les produits scalaires et croisés. Même en mouvement de projectile, vous avez beaucoup d'applications de la trigonométrie.

Les archéologues utilisent-ils la trigonométrie ?

La trigonométrie permet de répartir correctement les chantiers d'excavation en zones de travail égales. Les archéologues identifient différents outils utilisés par la civilisation, la trigonométrie peut les aider dans ces fouilles. Ils peuvent également l'utiliser pour mesurer la distance par rapport aux systèmes d'eau souterrains.

La trigonométrie en criminologie

En criminologie, la trigonométrie peut aider à calculer la trajectoire d'un projectile, à estimer ce qui a pu provoquer une collision dans un accident de voiture ou comment un objet est tombé de quelque part, ou sous quel angle a été un tir de balle, etc.

Trigonométrie en biologie marine

Les biologistes marins utilisent souvent la trigonométrie pour établir des mesures. Par exemple, pour découvrir comment les niveaux de lumière à différentes profondeurs affectent la capacité des algues à faire la photosynthèse. La trigonométrie est utilisée pour déterminer la distance entre les corps célestes. De plus, les biologistes marins utilisent des modèles mathématiques pour mesurer et comprendre les animaux marins et leur comportement. Les biologistes marins peuvent utiliser la trigonométrie pour déterminer la taille des animaux sauvages à distance.

Trigonométrie en génie maritime

En génie maritime, la trigonométrie est utilisée pour construire et naviguer des navires. Pour être plus précis, la trigonométrie est utilisée pour concevoir la rampe Marine, qui est une surface en pente pour relier les zones inférieures et supérieures, il peut s'agir d'une pente ou même d'un escalier en fonction de son application.

Trigonométrie utilisée en navigation

La trigonométrie est utilisée pour définir des directions telles que le nord-sud ou l'est-ouest. Il vous indique quelle direction prendre avec la boussole pour aller tout droit. Il est utilisé dans la navigation afin de localiser un emplacement. Il est également utilisé pour trouver la distance du rivage à partir d'un point dans la mer. Il est également utilisé pour voir l'horizon.

Autres utilisations de la trigonométrie

  1. Il est utilisé en océanographie pour calculer la hauteur des marées dans les océans.
  2. Les fonctions sinus et cosinus sont fondamentales pour la théorie des fonctions périodiques, celles qui décrivent les ondes sonores et lumineuses.
  3. Le calcul est composé de la trigonométrie et de l'algèbre.
  4. La trigonométrie peut être utilisée pour couvrir une maison, pour rendre le toit incliné (dans le cas de bungalows individuels individuels) et la hauteur du toit dans les bâtiments, etc.
  5. Il est utilisé dans les industries navale et aéronautique.
  6. Il est utilisé en cartographie (création de cartes).
  7. En outre, la trigonométrie a ses applications dans les systèmes satellitaires.

Voici quelques-unes des questions fréquemment posées sur les applications réelles de la trigonométrie.

Q1 : Qu'est-ce que la trigonométrie et ses applications ?
R : La trigonométrie a de nombreuses applications dans différents domaines de la vie, notamment l'ingénierie, les arts, la musique, les jeux, etc.

Q2 : Quelles sont les 6 professions qui utilisent la trigonométrie ?
R : Six professions qui utilisent la trigonométrie sont :
(i) Génie maritime
(ii) Développement de jeux
(iii) Bâtiment
(iv) Naval & Aviation
(vi) Criminologie

Q3 : Pourquoi avons-nous besoin de trigonométrie ?
R : La trigonométrie est une partie très importante des mathématiques qui est utilisée dans différents domaines de notre vie, c'est pourquoi nous avons besoin de triginométrie.

Q4 : Qui est le père de la trigonométrie ?
R : Hipparque est considéré comme le père de la trigonométrie.

Q5 : Quelles sont les applications de la trigonométrie classe 10 ?
R : La trigonométrie pour la classe 10 nous aide à résoudre les problèmes liés aux hauteurs et aux distances, à l'angle d'élévation et de dépression, etc.

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In vitro cell migration and invasion assays

Migration is a key property of live cells and critical for normal development, immune response, and disease processes such as cancer metastasis and inflammation. Methods to examine cell migration are very useful and important for a wide range of biomedical research such as cancer biology, immunology, vascular biology, cell biology and developmental biology. Here we use tumor cell migration and invasion as an example and describe two related assays to illustrate the commonly used, easily accessible methods to measure these processes. The first method is the cell culture wound closure assay in which a scratch is generated on a confluent cell monolayer. The speed of wound closure and cell migration can be quantified by taking snapshot pictures with a regular inverted microscope at several time intervals. More detailed cell migratory behavior can be documented using the time-lapse microscopy system. The second method described in this paper is the transwell cell migration and invasion assay that measures the capacity of cell motility and invasiveness toward a chemo-attractant gradient. It is our goal to describe these methods in a highly accessible manner so that the procedures can be successfully performed in research laboratories even just with basic cell biology setup.


The Limitations of Hooke’s Law

It’s important to stress again that Hooke’s law doesn’t apply to ​every​ situation, and to use it effectively you’ll need to remember the limitations of the law. The spring constant, ​k​, is the gradient of the straight-line ​portion​ of the graph of ​F​ vs. ​X​ in other words, force applied vs. displacement from the equilibrium position.

However, after the “limit of proportionality” for the material in question, the relationship is no longer a straight-line one, and Hooke’s law ceases to apply. Similarly, when a material reaches its “elastic limit,” it won’t respond like a spring and will instead be permanently deformed.

Finally, Hooke’s law assumes an “ideal spring.” Part of this definition is that the response of the spring is linear, but it’s also assumed to be massless and frictionless.

These last two limitations are completely unrealistic, but they help you avoid complications resulting from the force of gravity acting on the spring itself and energy loss to friction. This means Hooke’s law will always be approximate rather than exact – even within the limit of proportionality – but the deviations usually don’t cause a problem unless you need very precise answers.